第3回プログラマのための数学勉強会のノート (連続性・微分可能性・極値・ロルの定理 / テイラーの定理 / 関数の変化と微分係数 / 差分法 / 多変数関数の微分法)

このページはプログラマのための数学勉強会を聴講したときの個人的なノートである。

第3回プログラマのための数学勉強会(2013/09/26)の資料
http://nineties.github.io/math-seminar/3.html

第3回プログラマのための数学勉強会(2013/09/26)の動画
http://www.youtube.com/watch?v=ikcDsefUZ2k

連続性・微分可能性・極値・ロルの定理 2013/11/06

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• 連続性
  http://nineties.github.io/math-seminar/3.html#/5
• 微分可能性
  http://nineties.github.io/math-seminar/3.html#/6
  • \(n\)回微分係数が存在するとき、n回微分可能という
• 極値と導関数の関係
  http://nineties.github.io/math-seminar/3.html#/10
  • \(f(a)\) が極値ならば \( f^{\prime}(a)=0 \)
• ロルの定理
  http://nineties.github.io/math-seminar/3.html#/12
  • ある区間で連続で、両端で \(f(x)\) の値が同じならば、\( f^{\prime}(c)=0 \) を満たす \(c\) がその区間の内側のどこかに存在する

テイラーの定理 2013/11/07

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• テイラーの定理
  http://nineties.github.io/math-seminar/3.html#/22
  • \[ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k} + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \] ただし、\( a < c < x \) または \( x < c < a \)
  • 最後の項を剰余項という
  • \( n = 0 \) の場合を特に平均値の定理という
• テイラー級数
  http://nineties.github.io/math-seminar/3.html#/26
  • テイラーの定理の\(n\)を無限大にした無限級数
  • \[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k} \]
  • 収束半径: 級数が収束する範囲を表す
• テイラー展開
  http://nineties.github.io/math-seminar/3.html#/26
  • テイラー級数を求めること
• マクローリン級数
  • テイラー級数の\(a\)を\(0\)とおいたもの
• マクローリン展開
  • マクローリン級数を求めること
• ランダウの\(\mathcal{O}\)
  • 右辺の最後の項において誤差の程度を表した記号
  • \[ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k} + \mathcal{O}((x-a)^{n+1}) \]

関数の変化と微分係数 2013/11/07

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テイラー展開の応用として、関数の増減、凹凸、極大/極小の判定方法の話題。

差分法 2013/11/09

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• 前進差分
  • \[ f^{\prime}(x) = \frac{ f(x + \Delta x) - f(x) }{ \Delta x } + \mathcal{O}(\Delta x) \]
• 後進差分
  • \[ f^{\prime}(x) = \frac{ f(x) - f(x - \Delta x) }{ \Delta x } + \mathcal{O}(\Delta x) \]
• 中心差分
  • \[ f^{\prime}(x) = \frac{ f(x + \Delta x) - f(x - \Delta x) }{2 \Delta x} + \mathcal{O}(\Delta x ^2) \]
  • 前進差分と後進差分の平均をとっただけで誤差が減る
• 二階差分
  • \[ f^{\prime\prime}(x) = \frac{ f(x + \Delta x) - 2f(x) + f(x - \Delta x) }{ \Delta x ^2 } + \mathcal{O}(\Delta x ^2) \]

多変数関数の微分法 2013/11/17

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• 方向微分係数
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  • \[ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{u}}(\mathbf{a}) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(\mathbf{a} + h \mathbf{u}) - f(\mathbf{a}) }{ h } \]
• 偏微分係数
  • \[ \frac{\partial f}{\partial x_k}(\mathbf{a}) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(a_1, \cdots, a_k + h, \cdots, a_n) - f(a_1, \cdots, a_n) }{ h } \]
  • \[ \left. \frac{\partial f}{\partial x_k} \right|_{\mathbf{x}=\mathbf{a}} \] \[ \frac{\partial f}{\partial x_k} \mathbf{a} \] \[ f_{x_k}(\mathbf{a}) \] などと書く
• 偏導関数
  • \(a\)を引数とみなしたもの
  • \[ \frac{\partial f}{\partial x_k} \] \[ f_{x_k} \] などと書く
• 高階偏導関数
  • \(x\)と\(y\)の2変数関数の\(x\)で偏微分したものを\(y\)で偏微分したもの \[ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) \] を \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \] \[ f_{xy} \] などと書く
  • \(f_{xy}\)が連続ならば \[ f_{xy} = f_{yx} \] つまり微分する変数の順序に依らない
• 偏微分係数から方向微分係数を計算
  http://nineties.github.io/math-seminar/3.html#/57
  • \(f\)を\(x\), \(y\)の2変数関数として、\(\mathbf{u}=(α,β)\)として、 \[ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{u}}(a, b) = f_x(a, b) α + f_y(a, b) β \]
  • \(||\mathbf{u}||=1\)のときの偏微分係数の大きさ \[ \left| \frac{\partial f}{\partial \mathbf{u}}(\mathbf{a}) \right| \] は勾配 \( \mathrm{grad} f(\mathbf{a})=(f_{x_1}(\mathbf{a}), \cdots, f_{x_n}(\mathbf{a})) \) とベクトル\(\mathbf{u}\)が平行のときに最大になる
    http://nineties.github.io/math-seminar/3.html#/58
• 勾配
  • \[ \begin{align} \mathrm{grad} f(\mathbf{a}) &= (f_{x_1}(\mathbf{a}), \cdots, f_{x_n}(\mathbf{a})) \\ &= \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{a}), \cdots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{a}) \right) \end{align} \]
• 応用: 画像のエッジの検出
  http://nineties.github.io/math-seminar/3.html#/63